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【引用】什么是傅立叶变换?  

2012-04-12 08:07:46|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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傅立叶变换(以下简称FT)学了有些年头,可是一直没有求甚解。如果有人问我,我只能写出个数学变换的式子,高深莫测一番,生怕追问下去。这样做,本质上就好像有人问,“什么是光?”答曰“从灯泡里出来的东西”一样,看似回答,却不得要领。因此,我写下这篇短文,试图通过图像来理解傅立叶变换。
1)“频率”概念的由来
首先要问,为什么需要FT?要回答这个问题,我们不妨用时间t与频率f之间的变换做例子。在量纲上,FT把一个量纲转换为它的倒数,频率=1/时间。这样做看不出来有什么意义。还是想想看真实世界里的例子吧!
凡有交流,就要传递信号。这种“交流”是指广义的,普遍的,无论是自然界里蝙蝠探路,人们互相交谈,还是卫星接收信号,都属于交流的范畴。为了传递信号,产生交流,我们需要以“波”作为信号的载体。最简单的波,就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波,人们说话,声带振动带动了空气疏密波(声波),卫星识别电磁波。这样,我们就有了频率的概念。更进一步,除了手机GHz的波这些经典电磁波,在量子世界里,原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说,自然选择了以这些单频的模式为基础。
2)信号的产生和分解
事实上,任何的信号,都可以分解为这些“单频模式”的和。举一个同样是分解为基本模式的过程的类比,来自电磁学。假设任何一个带电体,它上面电荷分布,则可以把它分解为点电荷(单极子)+偶极子+四极子。。。的情形。见下图。振幅A1为点电荷对应的“强度”,即电荷数,A2为电偶极矩大小,等等。这样,就可以用一系列数学形式简单且具有对称性的电荷分布,来近似的描述任意的电荷分布。所谓“描述”,指它们产生同样的电场分布。

与之类似的,任何信号,也可以按照频率来分解。举个实际的例子,击弦乐器——钢琴。琴弦被小锤敲击后,产生声音,见下图。

这个信号就可以分解为一系列的单一频率的信号的和。频率最低的叫做基音频,其他的频率都是它的整数倍,叫做泛音频。把上图写成式子,即

这里我们可以看到一个特点,就是泛音频平方衰减: 2倍频衰减为1/4,3倍频衰减为1/9,等等.
与击弦乐器相对比的,是拨弦乐器吉他。

由于拨弦与击弦的扰动方式不同,使得琴弦的振动呈四次方衰减。这也解释了为了么钢琴音色比吉他丰富:相对于钢琴,吉他的高频泛音衰减要快得多。
    以上说明了信号在频率上产生,可以被频率分解的过程。接下来就是怎么测量这些信号了。
3)信号的测量
为了载有复杂信息,必须要有复杂信号。实际上,复杂信号的产生/传递,测量,都需要把它们分解为一系列频率来获得。下面以高纯锗探测器作为信号测量例子。

能量为E的光子打进来,与高纯度锗里的一个电子发生碰撞,E光子∝E电子。这个电子能量也很高,在锗里继续激发了一系列的电子-空穴对。高能量的电子能激发更多电子-空穴对,所以 E电子∝N,N即电子-空穴对数目。这些对,被高的偏置电压,快速拉走,作为电信号被放大,我们有N∝V,V即这些电子-空穴对们带来的电压。这个电压进入多道,如果电压落在了两个道之间,就认为电压是这个道对应的能量值。这样,我们就测量了Gamma 光子的能量。
好。那现在我们完成了一次信号测量的过程。这个信号的测量和FT有什么关系呢?实际上,我们已经不知不觉地做了一次傅立叶变换。
入射的光子是时间的函数,不同的时间有不同能量,不同数目的光子到达探测器。但是我们测量的是能量!与此同时,我们已经丢失了时间的信息。我们可以说,有多少光子处于某能量段,又有多少光子处于另一个能量段,也就是能谱。但是我们不知道光子是什么时候到达的。当我们测量时间变得很长的时候,能谱的相对误差就会变小。如果我们测量1分钟,那我们可以说所有被记录的粒子都在这一分钟里到达,也就是还含有1分钟为时间分辨率的信息;但是如果我们测量1年(如某些宇宙射线),在这一年里不看能谱;一年后再看能谱时,全然不知道能谱上哪段能量的粒子的先来后到。换句话讲,我们对时间进行了积分。如果我们说一月观察一次,二月再看一次谱,实际上时间分辨率已经不是一年,而是1个月了。也正因为如此,实验家喜欢测量时间分辨的能谱,甚至愿意把1小时测量分解为60个1分钟来做:我们把每分钟的谱相加,就得到了1小时的谱;但反过来却做不到了。扯远了,在这里,我们不考虑实验方法,只是说得到一个可靠的能谱,就要测量很长时间,就是对时间积分。而探测器的测量过程:测量很长时间(∫dt),观察能谱,就是做了一次FT。也就是说,FT并非人为的,数学上的发生,而是自然而然发生了的。
信号传播在时间里,但是能谱却从能量(频率)来记录,就是一种傅立叶变换。
5) 现在我们就可以写出FT的数学形式了,对于信号F(t),我们有

信号F(t)在时间里产生,却通过G(w)的分析得到。我们无法做到每一时刻都去做测量;但是我们把所有时间都测过之后,原来的时间信息就还原了。这里的相位因子是复数,这是因为我们不只对钢琴弦振动有兴趣,还有量子现象。关于虚数i很难讲很多,因为我个人除了知道它的平方等于-1,什么也不知道。
6)  更进一步的例子:坐标—动量空间
除了时间—频率分析之外,波矢k与坐标r量纲互逆,也有FT关系。这里用量子力学来做例子。
产生一个动量为k的粒子需要一个产生算子,而产生一个位置处于r处的粒子需要,它们之间为FT关系:

这是一件很不可思议的事情!只看第二式。我们通过产生一定动量的粒子,唯一的信息就是知道粒子的动量。怎么可能知道它的坐标在哪里!
实际上,我们将要知道的并非“该粒子”的坐标。我们已经有的也并非产生了“一定动量”的粒子,而是产生了所有动量的粒子:注意已经对k积分。
同样的事情发生在第一式。如下图。

假设坐标空间里,粒子被产生;所有位置都产生一个粒子。但是这些粒子并不是孤立产生的:它们之间相差一个相位。假设都按照均匀的相位差产生,某段空间间隔之后,产生的粒子又周期性的在同一状态。在r处的粒子,和在r’处的粒子态,仅由于空间不同,相差的相位为exp(i*k*(r-r'))。这并不神秘。联想杨氏双缝干涉实验,从两个不同的空出射的光,由于孔位置不同,两束光本身就有相位差。回到粒子态来。假设粒子A产生于rA, B产生于rB, A’产生于rA’, B’产生于rB’,当rA-rB =rA’ -rB’ 成立时,如果AB的相位差与A’B’的相位差相等,而且对全空间所有的点A,B都成立,则我们就定义了一个均匀的波数(动量)。
7) 结语
在散射谱学里(参见我的另一篇文章《散射谱学》),就是FT的另一个例子。比如非弹性X-光散射,测量的光子活在时间和空间里,但是测量却很自然的做了两次 FT,使得测量的是动量q和能量w转移。均匀介质不发生散射,散射是由于非均匀性才导致的;大的不均匀就导致大的散射强度。比如均匀的水,清澈无比的透光,而天上的云,密度不均匀就发生散射。散射强度I∝<n(q,w)n(-q,w)>,n为密度。注意这里的关联函数,仍旧是活在做过FT的动量-能量空间里。
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